《定积分证明题方法总结(汇总4篇)》
定积分证明题方法总结(精选4篇)
定积分证明题方法总结 篇1
《复变函数与积分变换》是电气技术、自动化及信号处理等工科专业的重要基础课,也是重要的工具性课程。本课程包括两部分内容:复变函数和积分变换。复变函数与积分变换的学习是为以后学习工程力学、电工学、电磁学、振动力学及无线电技术等奠定基础。
教学过程、方法及教学效果
1、命题分析
命题符合教学大纲基本要求,知识点覆盖面广,难易适中。重点考查了学生的基本概念、基本理论和技能的掌握程度以及综合运用能力。命题表述简明、准确,题量适中。
2、答题分析
绝大多数同学学习态度较好、学习积极性较高,能认真备考,掌握了相关的基本知识点,和相关题目的运算。从学生的考试情况来看,总体来说效果是比较好的。
3、成绩分析
学生总数104平均分
4、教学效果
总体情况比较理想,同学们普遍感觉对该课程的相关理论有了一定的了解,基本掌握了本课程的相关知识。
存在的不足及改进措施
在今后的教学中,尤其要加强教学内容与专业相结合,使学生更有兴趣学习这门课程,对教材进行适当的处理,调整讲解顺序,抓住关键知识点,在课堂上加大对学生训练的力度。课后及时批改学生作业,及时讲评并解答学生的各种疑难问题。
教改建议
学时相对较少,概念和理论不能深入展开讲解;应适当增加学时,以增加习题课的教学,使学生能够更牢固掌握该门课程。
90~100分(优)80~89分(良)167226优秀率70~79分(中)1315%60~69分(及)0~59分(不及)35及格率1487%
定积分证明题方法总结 篇2
一、 不定积分计算方法
1. 凑微分法
2. 裂项法
3. 变量代换法
1) 三角代换
2) 根幂代换
3) 倒代换
4. 配方后积分
5. 有理化
6. 和差化积法
7. 分部积分法(反、对、幂、指、三)
8. 降幂法
二、 定积分的计算方法
1. 利用函数奇偶性
2. 利用函数周期性
3. 参考不定积分计算方法
三、 定积分与极限
1. 积和式极限
2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限
3. 洛必达法则
4. 等价无穷小
四、 定积分的估值及其不等式的应用
1. 不计算积分,比较积分值的大小
1) 比较定理:若在同一区间[a,b]上,总有
f(x)>=g(x),则 >= dx
2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a)
b) 当0<x<兀/2时,2/兀<<1
2. 估计具体函数定积分的值
积分估值定理:设f(x)在[a,b]上连续,且其最大值为M,最小值为m则
M(b-a)<= <=M(b-a)
3. 具体函数的定积分不等式证法
1) 积分估值定理
2) 放缩法
3) 柯西积分不等式
≤ %
4. 抽象函数的定积分不等式的证法
1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性
2) 积分中值定理
3) 常数变易法
4) 利用泰勒公式展开法
五、 变限积分的导数方法
定积分证明题方法总结 篇3
一、不定积分的概念和性质
若F(x)f(x),则f(x)dxF(x)C, C为积分常数不可丢!
性质1f(x)dxf(x)或 df(x)dxf(x)dx或
df(x)dxf(x) dx
性质2F(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C
性质3[f(x)g(x)]dx
或[f(x)g(x)]dx
二、基本积分公式或直接积分法
基本积分公式 f(x)dxg(x)dx g(x)dx;kf(x)dxkf(x)dx. f(x)dx
kdxkxC
dx1x1C(为常数且1)1xdxlnxC ax
edxeCadxlnaC
cosxdxsinxCsinxdxcosxC
dxdx22tanxCsecxdxcsccos2xsin2dxcotxC
secxtanxdxsecxCcscxcotxdxcscxC
dxarctanxCarccotx
C1x2arcsinxC(arccosxC)
直接积分法:对被积函数作代数变形或三角变形,化成能直接套用基本积分公式。 代数变形主要是指因式分解、加减拆并等;三角变形主要是指三角恒等式。
三、换元积分法:
1.第一类换元法(凑微分法)
g(x)dxf((x))(x)dxf((x))d(x)
注 (1)常见凑微分:
u(x)f(u)du[F(u)C]u(x).
111dxd(axc), xdxd(x2c),2dc), dxd(ln|x|
c) a2x1dxd(arctanx)d(arccotxd(arcsinx)d(arccosx) 1+x2
(2)适用于被积函数为两个函数相乘的情况:
若被积函数为一个函数,比如:e2xdxe2x1dx, 若被积函数多于两个,比如:sinxcosx1sin4xdx,要分成两类;
(3)一般选择“简单”“熟悉”的那个函数写成(x);
(4)若被积函数为三角函数偶次方,降次;奇次方,拆项;
2.第二类换元法
f(x)d(t)f((t))(t)dtf((t))(t)dtt1(x)G(t)Ct1(x) 常用代换类型:
(1) 对被积函数直接去根号;
(2) 到代换x1; t
(3) 三角代换去根号
x
atantxasect、
xasint(orxacost)
f(xdx,t
f(,x
asect
f(,xasint
f(,xatant f(ax)dx,ta
x
f(,t
三、分部积分法:uvdxudvuvvduuvuvdx.
注 (1)u的选取原则:按“ 反对幂三指” 的顺序,谁在前谁为u,后面的为v;
(2)uvdx要比uvdx容易计算;
(3)适用于两个异名函数相乘的情况,若被积函数只有一个,比如:
arcsinx1dx,
u
v
(4)多次使用分部积分法: uu求导 vv积分(t;
定积分证明题方法总结 篇4
一、原函数
定义1 如果对任一xI,都有F(x)f(x) 或 dF(x)f(x)dx
则称F(x)为f(x)在区间I 上的原函数。
例如:(sinx)cosx,即sinx是cosx的原函数。 [ln(xx2)
原函数存在定理:如果函数f(x)在区间I 上连续,则f(x)在区间I 上一定有原函数,即存在区间I 上的可导函数F(x),使得对任一xI,有F(x)f(x)。
注1:如果f(x)有一个原函数,则f(x)就有无穷多个原函数。
设F(x)是f(x)的原函数,则[F(x)C]f(x),即F(x)C也为f(x)的原函数,其中C为任意常数。
注2:如果F(x)与G(x)都为f(x)在区间I 上的原函数,则F(x)与G(x)之差为常数,即F(x)G(x)C(C为常数)
注3:如果F(x)为f(x)在区间I 上的一个原函数,则F(x)C(C为任意常数)可表达f(x)的任意一个原函数。
1x2,即ln(xx2)是1x2的原函数。
二、不定积分
定义2 在区间I上,f(x)的带有任意常数项的原函数,成为f(x)在区间I上的不定积分,记为f(x)dx。
如果F(x)为f(x)的一个原函数,则
f(x)dxF(x)C,(C为任意常数)
三、不定积分的几何意义
图 5—1 设F(x)是f(x)的一个原函数,则yF(x)在平面上表示一条曲线,称它为f(x)f(x)的不定积分表示一族积分曲线,它们是由f(x)的某一条积分曲线沿着y轴方向作任意平行移动而产生的所有积分曲线组成的.显然,族中的每一条积分曲线在具有同一横坐标x的点处有互相平行的切线,其斜率都等于f(x).
在求原函数的具体问题中,往往先求出原函数的一般表达式yF(x)C,再从中确定一个满足条件 y(x0)y0 (称为初始条件)的原函数yy(x).从几何上讲,就是从积分曲线族中找出一条通过点(x0,y0)的积分曲线.
四、不定积分的性质(线性性质)
[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx
k为非零常数) kf(x)dxkf(x)dx(
五、基本积分表
∫ a dx = ax + C,a和C都是常数
∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C,其中a为常数且 a ≠ -1 ∫ 1/x dx = ln|x| + C
∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C,其中a > 0 且 a ≠ 1
∫ e^x dx = e^x + C
∫ cosx dx = sinx + C
∫ sinx dx = - cosx + C
∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C
∫ tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C
∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C
= (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C
= - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C
∫ cscx dx = ln|tan(x/2)| + C
= (1/2)ln|(1 - cosx)/(1 + cosx)| + C
= - ln|cscx + cotx| + C = ln|cscx - cotx| + C
∫ sec^2(x) dx = tanx + C
∫ csc^2(x) dx = - cotx + C
∫ secxtanx dx = secx + C
∫ cscxcotx dx = - cscx + C
∫ dx/(a^2 + x^2) = (1/a)arctan(x/a) + C
∫ dx/√(a^2 - x^2) = arcsin(x/a) + C
∫ dx/√(x^2 + a^2) = ln|x + √(x^2 + a^2)| + C
∫ dx/√(x^2 - a^2) = ln|x + √(x^2 - a^2)| + C
∫ √(x^2 - a^2) dx = (x/2)√(x^2 - a^2) - (a^2/2)ln|x + √(x^2 - a^2)| + C ∫ √(x^2 + a^2) dx = (x/2)√(x^2 + a^2) + (a^2/2)ln|x + √(x^2 + a^2)| + C ∫ √(a^2 - x^2) dx = (x/2)√(a^2 - x^2) + (a^2/2)arcsin(x/a) + C
六、第一换元法(凑微分)
设F(u)为f(u)的原函数,即F(u)f(u) 或 f(u)duF(u)C 如果 u(x),且(x)可微,则 dF[(x)]F(u)(x)f(u)(x)f[(x)](x) dx
即F[(x)]为f[(x)](x)的原函数,或
f[(x)](x)dxF[(x)]C[F(u)C]u(x)[f(u)du]因此有
定理1 设F(u)为f(u)的原函数,u(x)可微,则
f[(x)](x)dx[f(u)du]
公式(2-1)称为第一类换元积分公式。 u(x)u(x) (2-1)
f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)[f(u)du]u(x)
1f(axb)d(axb)1[f(u)du]f(axb)dxuaxb